半正定矩阵数学术语

半正定矩阵是正定矩阵的推广。对一般的矩阵来说，要把矩阵化成标准型才可以这样说。一个矩阵是正定的是指该矩阵对应的实二次型f（x1,x2,...,xn）对任意的一组不全为零的实数c1,c2,...,cn都有f(c1,c2,...,cn)>0。

中文名

半正定矩阵

外文名

positive semidefinite matrix

对应

半正定二次型

相关概念

正定

类别

数学

领域

线性代数

广义定义

定义1 设A是n阶方阵，如果对任何非零向量X，都有X'AX≥0，其中X‘表示X的转置，就称A为半正定矩阵。

狭义定义

（常用定义）

定义2 设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX≥0，则称A为半正定矩阵，称X'AX为半正定二次型。（其中，X'表示X的转置。）

注  ：1）设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX>0，则称A为正定矩阵，称X'AX为正定二次型。

2）设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX<0，则称A为负定矩阵，称X'AX为负定二次型。

3） 设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有X'AX≤0，则称A为半负定矩阵，称X'AX为半负定二次型。

4）设A为实对称矩阵，若A既不是半正定又不是半负定，则称A为不定矩阵，称X'AX为不定二次型。

5） 设A为Hermite矩阵，若对于每个非零复向量X，都有X*AX≥0，则称A为半正定复矩阵。（其中，X*表示X的共轭转置。）

性质

1.半正定矩阵的行列式是非负的。

2.两个半正定矩阵的和是半正定的。

3.非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

判定

定理设A是n阶实对称矩阵，则下列的条件等价：

1.A是半正定的。

2.A的所有主子式均为非负的。

3.A的特征值均为非负的。

4.存在n阶实矩阵C，使A=C′C.

5.存在秩为r的r×n实矩阵B，使A=B′B.

参考资料

1.正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解·CSDN