差分方程（数学方程）
差分方程又称递推关系式，是含有未知函数及其差分，但不含有导数的方程。 满足该方程的函数称为差分方程的解。差分方程是微分方程的离散化。
中文名差分方程
difference equation
概念
设{ut，t=0，±1…}为实序列，若满足如下关系式ut-ᵠ1ut-1-…-ᵠput-p=h(t)，其中ᵠ1，ᵠ2…，ᵠp为实数，h(t)为t的已知实函数，则称上式为{ut}所满足的线性差分方程。
如将上式中的确定性函数ut，h (t)代之以统计特性已知的随机序列，于是便得到线性随机差分方程。在时间序列分析中并不讨论这样广泛的模型，只涉及一种特殊的线性随机差分方程：
xt-ᵠ1xt-1-…-ᵠpxt-p=εt-θ1εt-1-…-θqεt-g
其中ᵠ1， …，ᵠp， 及θ1， …，θg为实数， {xt}是零均值平稳序列，{εt}是平稳白噪声序列，且当s>t时Eεsxt=0上述特定的线性随机差分方程就是时间序列分析中的ARMA (p，g) 模型。 [3]
形如yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t)的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程。其中a1(t），a2(t），…，an-1(t），an(t）和f(t）都是t的已知函数，且an(t）≠0，f(t）≠0。
而形如yt+n+a1(t)yt+n-1+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程。其中ai(t)(i=1，2，…，n）为t的已知函数，且an(t）≠0。
如果ai(t)=ai(i=1，2，…，n）均为常数（an≠0），则有
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t），
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0。
分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程。
差分方程定理
定理1（齐次线性差分方程解的叠加原理）
若y1(t），y2(t），…，ym(t）是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解（m≥2），则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t）也是方程 的解，其中A1，A2，…，Am为任意常数。
定理2n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解。
定理3（齐次线性差分方程通解结构定理）
如果y1(t），y2(t），…，yn(t）是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解，则方程 的通解为：yA(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t），其中A1，A2，…，An为n个任意（独立）常数。
定理4（非齐次线性差分方程通解结构定理）
如果 (t）是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t）的一个特解，yA(t）是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的通解，那么，非齐次线性差分方程的通解为：y(t)=yA(t)+ (t)，即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ (t），这里A1，A2，…，An为n个任意（独立）常数。
通解特解
齐次差分方程的通解
将方程yt+1+ayt=0改写为：yt+1=-ayt，t=0，1，2，…。假定在初始时刻（即t=0）时，函数yt取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得
差分方程
差分方程
y1=-ay0=-aA，y2=-ay1=(-a)2A，………………方程的通解为yt =A(-a)t ，t=0，1，2，…
如果给定初始条件t=0时yt=y0，则A=y0，此时特解为：yt =y0(-a)t。
非齐次方程的通解与特解
迭代法求通
将方程改写为 yt+1=(-a)yt+f(t）， t=0，1，2，…。
逐步迭代，则有
y1=(-a)y0+f(0），y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1），y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2），………………
由数学归纳法，可得yA(t)=(-a)ty0为对应的齐次方程的通解。
应用
存款模型
设St为t期存款总额，i为存款利率，则St与i有如下关系式：
St+1=St+iSt=(1+i)Si， t=0，1，2，…，
其中S0为初始存款总额。
动态供需均衡模型(蛛网定理)
设Dt表示t期的需求量，St表示t期的供给量，Pt表示商品t期价格，则传统的动态供需均衡模型为：
差分方程其中a，b，a1 ，b1均为已知常数。
(1)式表示t期(现期)需求依赖于同期价格；
(2)式表示t期(现期)供给依赖于(t-1)期(前期)价格。
(3)式为供需均衡条件。
若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即 Pt=Pt-1=Pe，静态均衡价格需求曲线与供给曲线的交点(Pe ，Qe)即为该种商品的静态均衡点。
若初始价格P0已知时,将其代入通解，可求得任意常数A=P0-Pe ，此时，通解改写为
如果初始价格P0=Pe ，那么Pt=Pe ，这表明没有外部干扰发生，价格将固定在常数值Pe上，即静态均衡。如果初始价格P0≠Pe，那么价格Pt将随t的变化而变化。
凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型
设Yt表示t期国民收入，Ct为t期消费，It为t期投资，DI0为自发(固定)投资，I为周期固定投资增量。凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：
差分方程(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2)式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a(≥0)为基本消费水平，b为边际消费倾向(0＜b＜1)；(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资。在凯恩斯主义者眼里，“资本”也是一个同质的总量概念，即只有一个“总资本”，他们无法理解，资本是迂回的生产链条，有复杂的时间结构。[1]
哈罗德(Harrod.R.H)经济增长模型
哈罗德—多马模型（Harrod-DomarModel，H-D）是对凯恩斯S=I模型早期的动态化发展，提出在假定资本产出比不变的情况下，均衡经济增长率取决于储蓄率，即储蓄倾向。[2]设St为t期储蓄，Yt为t期国民收入，It为t期投资，s称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向)，0＜s＜1，k为加速系数。哈罗德宏观经济增长模型为：
差分方程其中s，k为已知常数。(1)式表示t期储蓄依赖于前期的国民收入；(2)式表示t期投资为前两期国民收入差的加速，且预期资本加速系数k为常数；(3)式均衡条件。
参考资料1.凯恩斯主义有致命陷阱·凤凰网
2.凯恩斯储蓄———投资模型及其发展辨析·中华会计网校
