贝祖定理数学定理

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。裴蜀定理说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x以及y的线性的丢番图方程（称为裴蜀等式）。

中文名

裴蜀定理

外文名

Bézout's identity

别名

贝祖定理

提出者

艾蒂安·裴蜀

适用领域

数学-不定方程

应用学科

数学

证法一

设则。由整除的性质，，有d|(ax+by)。

设s为ax+by最小正值，令，则。

可见r也为a,b的线性组合。

由于r为amods所得,所以。

由于s为a,b线性组合的最小正值,可知r=0。

因此有s|a,同理s|b，因此，s是a与b的公约数，所以ds......①。

因为d|a，d|b，且s是a与b的一个线性组合，所以由整除性质知d|s。

但由于d|s和s>0，因此ds......②。

由①②得d=s，命题得证

证法二

⑴若b=0，则(a,b)=a.这时定理显然成立。

⑵若a,b不等于0.

记d=(a,b),对ax+by=d，两边同时除以d，可得(a1)x+(b1)y=1，其中(a1,b1)=1。

转证(a1)x+(b1)y=1。由带余除法：

①(a1)=(q1)(b1)+(r1),其中0<r1<b1

②(b1)=(q2)(r1)+(r2),其中0<r2<r1

③(r1)=(q3)(r2)+(r3),其中0<r3<r2

.....

④(rn-4)=(qn-2)(rn-3)+(rn-2)

⑤(rn-3)=(qn-1)(rn-2)+(rn-1)

⑥(rn-2)=(qn)(rn-1)+(rn)

⑦(rn-1)=(qn+1)(rn)+1

故，由⑦和⑥推出(rn-2)An-2+(rn-1)Bn-1=1

再结合⑤推出(rn-3)An-3+(rn-2)Bn-2=1

再结合④推出(rn-4)An-4+(rn-3)Bn-3=1

.....

再结合③推出(r1)A1+(r2)B2=1

再结合②推出(b1)A0+(r1)B0=1

再结合①推出(a1)x+(b1)y=1

得证。

定理推广

以上定理可推广到n个，n≥2

如1stIMO1959第1题：证明对任意自然数n，（21n+4）/（14n+3）为既约分数。证明：很容易看出3（14n+3）-2（21n+4）=1，由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故（21n+4）/（14n+3）为既约分数。Q.E.D.

另如：5x+4y+3z可表示全部整数.因为3，4，5互质，所以5x+4y+3z可以等于1，则必定可以等于其他任意整数。

应用

整数中

对任意两个整数a、b设d是它们的最大公约数。那么关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

ax+by=m

有整数解（x,y）当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

n个整数间

设a1,a2,a3......an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=d。

特别来说，如果a1...an存在任意两个数是互质的（不必满足两两互质），那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=1。证法类似两个数的情况。

任意主理想环

裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环A是主理想环，a和b为环中元素，d是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素x和y使得：

ax+by=d

这是因为在主理想环中，a和b的最大公约元被定义为理想aA+bA的生成元。

参考资料

1.贝祖定理·知网百科