组合数(数学概念)
从m个不同元素中,任取n(n≤m)个元素并成一组,叫做从m个不同元素中取出n个元素的一个组合;从m个不同元素中取出n(n≤m)个元素的所有组合的个数,叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。若表示在n个物品中选取m个物品,则如存在下述公式:C(n,m)=C(n,n-m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。
中文名组合数
combinatorial number
数学
c(m,n)=m!/((m-n)!*n!)
C(n,m)= C(n,n-m)
C(n,m)= C(n-1,m-1)+C(n-1,m)
作用
组合数、排列数、自然数连乘积、自然数的方幂等求和中,很多古老而又年轻的问题,有时百思不得其解。灵活运用组合数的性质:C(m,n+1)=C(m,n)+C(m-1,n),却能化难为易,获得简捷明快的解法。[1]
举例
例1、设15000件产品中有1000件次品,从中拿出150件,求得到次品数的期望和方差?
解:(本题利用公式3、4、5)
有K件次品的概率为:
P(K)=C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)
E(X)
=S(K=0,150)K*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)
=S(K=0,149)1000*C(999,K)*(14000,149-K)/C(15000,150)
=1000*C(14999,149)/C(15000,150)
=10
D(X)
=S(K=0,150)(K-10)*(K-10)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)
=S(K=0,150)(K*K-K-19*K+100)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)
=S(K=0,150)K*(K-1)*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)
-19*S(K=0,150)K*C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)
+100*S(K=0,150)C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)
=S(K=0,148)1000*999*C(998,K)*C(14000,148-K)/C(15000,150)
-19*S(K=0,149)*1000*C(999,K)*C(14000,149-K)/C(15000,150)
+100*S(K=0,150)C(1000,K)*C(14000,150-K)/C(15000,150)
=1000*999*C(14998,148)/C(15000,150)
-19*1000*C(14999,149)/C(15000,150)+100
=138600/14999
=9.240616041
此题推广形式为:
设M件产品中有P件次品,从中拿出N件(N《=P),求得到次品数的期望和方差?
E(X)=P*N/M
D(X)=P*(P-1)*C(M-2,N-2)/C(M,N)
+(1-2*P*N/M)*P*C(M-2,N-2)/C(M,N)+(P*N/M)^2
例2、设某射手对同一目标射击,直到射中R次为止,记X为使用的射击次数,已知命中率为P,求E(X)、D(X)。
解:射中R次,使用的射击次数为K次(K>=R),则前K-1次射中R-1次,第K次射中了,概率为:
P(K)=C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
(以下暂时用W表示无穷大)
射中R次,使用的射击次数可为R次、R+1次...W次
因此S(K=R,W)P(K)=1(这是概率的特点)
即:S(K=R,W)C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)=1
以上证明的式子是另一个公式,即无论P,R是什么数都成立,以下将应用这一公式。
E(X)
=S(K=R,W)K*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R,W)K*(K-1)!/(R-1)!/(K-R)!*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R,W)R*K!/R!/(K-R)!*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R,W)R*C(K,R)*P^R*(1-P)^(K-R)
=R/P*S(K=R,W)C(K,R)*P^(R+1)*(1-P)^(K-R)
令K1=K+1,R1=R+1,则
E(X)=R/P*S(K1=R1,W)C(K1-1,R1-1)*P^R1*(1-P)^(K1-R1)
利用以上公式得
E(X)=P/R
D(X)
=S(K=R,W)(K-R/P)^2*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R,W)(K*K-2*K*R/P+R*R/P/P)*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R,W)[K*(K+1)-(K+2*K*R/P)+R*R/P/P]*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
=S(K=R,W)[K*(K+1)*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
-S(K=R,W)(K+2*K*R/P)*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
+S(K=R,W)R*R/P/P*C(K-1,R-1)*P^R*(1-P)^(K-R)
=(推导过程同求E(X),略)
=R(R+1)/P/P-(2*R+P)*R/P/P+R*R/P/P
=(1-P)*R/P/P
参考资料1.灵活运用组合数的性质求和·中国统一教育网