不动点定理拓扑学定理

Banach不动点定理(亦称Banach压缩映照原理)是泛函分析中最重要又经典的定理之一。布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0)=x0。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。

中文名

不动点定理

外文名

fixed-point theorem

提出者

伊兹·布劳威尔

应用学科

拓扑学

适用领域

数学方程求解

提出时间

定理表述

对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变的”点。不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。常用的不动点定理有：

(1)布劳威尔不动点定理(1910年)：若A⊂R(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f：A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数f(·)有一个不动点，即存在x∈A，x=f(x)。

该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。

(2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年)：若A⊂R且A为非空、紧凸集，f：A→A是从A到A的一个上半连续对应，且f(x)⊂A对于任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一个不动点。

不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法。因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。

定理意义

不动点定理给出一个一般的标准，如果条件满足，迭代函数的过程产生一个固定点。

相比之下，不动点定理是一个非建设性的结果：它表示从n维欧几里德空间中的封闭单位球到自身的任何连续函数都必须有一个固定点，但是没有描述如何找到固定点（参见Sperner的引理）。

例如，余弦函数在[-1,1]中是连续的，并将其映射成[-1,1]，因此必须有一个固定点。当检查余弦函数的草绘图时，这是很清楚的;发生固定点，其中余弦曲线y=cos（x）与线y=x相交。在数值上，固定点大约为x=0.73908513321516（因此x=cos（x））。

代数拓扑中的Lefschetz定点定理（和Nielsen定点定理）是显着的，因为它在某种意义上给出了一种计数固定点的方法。

对不动点定理进行了一些推广;这些都适用于PDE理论。参见无限维空间中的定点定理。

分形压缩中的拼贴定理证明，对于许多图像，存在对迭代应用于任何起始图像时快速收敛在所需图像上的函数的相对较小的描述。

代数和离散数学中的应用：

Knaster-Tarski定理指出，完整格子上的任何维持秩序的函数都有一个固定点，实际上是一个最小的固定点。

定理在抽象解释中有应用，这是静态程序分析的一种形式。

lambda演算中的常见主题是找到给定的lambda表达式的固定点。每个lambda表达式都有一个固定点，而一个定点组合器是一个“函数”，它将lambda表达式作为输入，并产生该表达式的固定点。一个重要的定点组合器是用于给出递归定义的Y组合器。

在编程语言的指称语义中，使用Knaster-Tarski定理的特殊情况来建立递归定义的语义。虽然定点定理被应用于“相同”的功能（从逻辑的角度来看），理论的发展是完全不同的。

在可计算性理论中，可以通过应用Kleene递归定理给出递归函数的相同定义。这些结果不是等价的定理；Knaster-Tarski定理比指称语义中使用的定理强得多。然而，鉴于Church-Turing论文，他们的直观含义是相同的：递归函数可以被描述为功能的函数映射函数的最小固定点。

上述迭代函数找到固定点的技术也可以在集合理论中使用；正常功能的定点引理指出，从序数到序数的任何连续的严格增加的函数都有一个（甚至很多）固定点。

每个封闭操作员都有很多固定点；这些是关闭操作符的“封闭元素”，它们是闭包运算符首先定义的主要原因。

在有奇数个元素的有限集上的每个卷积都有一个固定点；更一般地，对于有限元素集合上的每个卷积，元素的数量和固定点的数量具有相同的奇偶性。唐·萨吉尔（Don Zagier）使用这些观察结果，给出了两个平方和的Fermat定理的一个句子证明，通过在同一组三元组中描述两个渐近，其中一个可以很容易地显示出只有一个固定点，另一个对于给定素数（与1模4相等）的每个表示具有两个正方形的和的固定点。由于第一次卷积具有奇数个固定点，因此第二次也存在所需形式的表示。

参考资料

1.Banach不动点定理的一个推广·知网空间

2.不动点定理·知网百科